在40年代和50年代期間，許多在數學上思維敏捷的人曾經熱情地工作，研製出第一部電子計算機。當然，他們成功了，而且在過去30年內，數學家們在電子方面的腦力成果已使許多科學領域發生了巨大的變革，然而，可笑的是，數學本身卻沒有進展。美國斯坦福大學的數學家約瑟夫·凱勒說道：「看看我們這個系，我們擁有的計算機比學校其他系，包括法國文學系在內，都要少。」
「這是很可笑的事，」羅伯特·奧澤曼這樣說，他是凱勒的同事，已在斯坦福大學工作了30年。「我們缺乏計算機顯然是有幾種原因，一是由於一些數學家的保守性——他們不願意花時間去真正學習如何有效使用計算機——另外，他們認為使用計算機要花很多時間，這正是他們自己不願努力思考的託詞。」
然而這些日子，由於前斯坦福大學學生、現在美國阿默斯特市馬薩諸塞州立大學工作的戴維·霍夫曼有了一項引人注意的新發現，使凱勒和霍夫曼對計算機在數學中應用的未來更有信心了，藉助於改革了的計算機繪圖系統，霍夫曼及其同行、美國賴斯大學幾何學家威廉·米克斯第三發現了無窮無盡的優美曲面，這些曲面遵循某些嚴格的標準。而目前已知的只有3種曲面符合這些標準。這些奇異的曲面已使麥比烏斯帶似乎顯得世俗而又平凡。無疑，他們填補了數學上的一項空白，而且還證明了這些曲面像麥比烏斯帶一樣可以用於數學之外的一些學科，諸如胚胎學與牙科學等多種學科。
計算機對基礎數學做出的最著名的貢獻是一項「10歲」的成果，它打亂了老規律。1976年，美國伊利諾斯大學肯尼思·阿佩爾和沃爾夫岡·哈肯證明了著名的四色地圖定理，該定理闡明了用這種方法至多只需4種顏色，就能把許多想像到的國家繪製在一張彩色平面地圖內，而其中的任何兩個鄰國顏色不同。
當時，我還是美國哈佛大學的一名大學生，當該證明的消息傳到坎布里奇市時，我的微分方程老師中斷了講課，打開香檳酒瓶，熱烈慶賀。124年來，四色地圖定理（以簡單的辭藻形容，就是多麼的誘人）曾經搞亂了著名數學家與獻身數學的業餘愛好者的步伐，他們都曾徒勞地探索這項證明（或許可以預料地得到了反證）。我和穿著漂亮服裝的同學都跟隨著我們的老師，高舉酒杯，為阿佩爾與哈肯已經攀登上數學的珠穆朗瑪峰而乾杯。
幾天以後，我們知道了阿佩爾與哈肯使用的未曾有過的高速計算機取得的這項證明：1，200小時的工作量僅用3小時就記錄完。這項證明若用手工檢驗，簡直是太長了。（好奇的讀者可消磨10年的時間去研究《伊利諾斯數學雜誌》第二十一卷中460多頁的檢驗表。）
我還能回憶起當時我們的心緒是多麼的煩惱。這項證明不符合那時保羅·厄爾多斯所贊同的數學觀點，他是一位到處走動的古稀老人，世界上最多產的數學家之一。厄爾多斯認為，上帝有一本很薄的小冊子，書中含有所有重要數學定理的簡明的第一流的證明。毫無疑問，四色地圖定理包含在該書內，而阿佩爾與哈肯的證明肯定不在其列。
我們的老師和我們都感到沮喪，有些人擔心計算機會出差錯，因而造成微妙的誤差。另一些人承認計算機有助於定理的證明，但還希望眾所周知的聰明的中學生有朝一日會不用計算機就能做出簡明漂亮的證明，一項像厄爾多斯心目中上帝所賦予的證明。還有一些人則想知道，那冗長乏味的證明是否就是論題的最後定論；不過，他們都曾猜想過，四色地圖定理是整個令人感興趣的定理中的代表，簡單的證明不會存在，也不可能存在。
今天，10多年過去了，對阿佩爾與哈肯的工作還是沒有定論，當然也沒有宣告計算機證明的時代的到來。計算機固然已經發現了新素數，而且解出了阿基米德的關於牛的問題，但這不是證明一個定理。事實上，自從四色地圖定理以來，還沒有一個著名的定理要由機器來證明，霍夫曼和米克斯曾用另一方式使用計算機，它可能是未來的出路。他們曾利用計算機的數字搗弄能力獲得洞察力，使他們無須計算機的幫助就能不斷取得進展，並證明了一項基本結果。
150年來，許多數學家都曾研究肥皂膜的形狀，而且霍夫曼和米克斯發現的許多曲面都是與這些形狀有關的。如果把一鐵絲圓環浸沒在肥皂液中，然後取出，那麼橫跨在鐵環上的肥皂膜形狀是平圓盤狀的。這種形狀被認為是極小的曲面，因為在可能橫跨鐵環的所有曲面中，平圓盤形具有最小的面積。
如果再用兩個相距很短的鐵絲圓環，一個放在另一個上方，再浸入肥皂液後取出，那麼跨過兩個鐵環的肥皂膜形狀叫做懸索曲面，它類似核電廠冷卻塔的形狀。
這種形狀也是一種極小曲面；因為連接兩個鐵環的所有曲面中，沒有其他曲面具有更小的面積。自然界總是偏愛極小曲面，是因為它們在物理上穩定：最小的面積意味著貯存的能量最小。
可以把極小曲面的概念從肥皂膜的廚房物理學世界擴展到無限的超自然領域，我們把這個工作留給數學家們去做。無限小的曲面的說法似乎像是矛盾的，因為任何曲面要在一個方向或多個方向無限向外擴展，必須有一個無界的面積。如果一位數學家說一個無限的曲面是極小的，也就是說用製作肥皂膜的方法把該曲面充分縮小到有限範圍內的最小面積，換句話說，如果你在該無限曲面上任何處做一魔術標記，並畫一條非常小的閉合曲線，那麼，在該曲線作為邊界的前提下，曲線內的曲面將有最小的可能面積。
平面就是無限小曲面的最簡單例子；平圓盤狀肥皂膜正是一個平面。如果懸索曲面的兩端永遠擴展，結果也成為另一個無限極小曲面。平面和無限擴展的懸索曲面都是本身不會相交的曲面。它們也都不會自身形成雙重曲面，也不會無限接近。
諸如平面和無界的懸索曲面等曲面都可變形，成為一個簡單的有限物體：一個具有一些微孔和一些空心把手的空心球形。（不妨在皮箱上畫出一個空心把手，它就可以使皮箱中的空氣流過空心把手，再回到皮箱。從數學角度來說，每種空心把手都可以用來增加曲面的「連通度」，因為剪斷空心把手將不會把曲面分成幾塊。）數學家們以他們豐富的想像力認為曲面都是由超柔性的橡膠製成。如果用拉長、壓縮、扭轉或其他手段，但不包括撕開、穿孔或填孔等方法使這些曲面之一變形成為另一種曲面，那麼這兩種曲面被認為具有同樣的拓撲學結構。
例如空心球形就可以拉伸成為卵形曲面，因此這兩種曲面具有同樣的拓撲結構。
從拓撲學角度來看，平面與穿有單一微孔的球形相同，因為在這種奇特世界裡，微孔可以無限地扯開，形成平面，這將使查爾斯·古德伊爾感到悲哀。
懸索曲面與帶有兩個微孔的空心球形具有同樣的拓撲結構；每個微孔都能拓寬並拉伸到無限大。（總的說來，多孔空心球形的每一個微孔都可以擴展成為無限大。）
當霍夫曼和米克斯開始研究時，數學家們都知道，除了平面和無界的懸索曲面外，僅有另外一種無限極小曲面，它本身不會相交，在有孔的空心球形（帶或不帶把手）上，能用橡膠片的變形來模擬。這種曲面就是無界的螺旋面，它類似於擴展成無限大的螺旋。和平面一樣，螺旋面與單孔空心球形具有同樣的拓撲結構。
人們知曉的這3種極小曲面幾乎存在200年了，而且過去10年的一系列成果也都說明，似乎不太可能有第四種存在。例如，1981年，美國聖地亞哥市加利福尼亞大學的里克·舍恩就曾證明，帶有兩孔的空心球形僅能作為懸索曲面的模型，而不能作為無自身相交的其他無限小曲面的模型。同一年，巴西數學家盧奎西奧·豪爾赫則證明了，帶有3孔、4孔或5孔和不帶把手的空心球形都不能成為適宜的模型。
霍夫曼說道：「由於在所有特殊情況下都已排除了新極小曲面的存在的可能性，許多人認為，而且試圖證明沒有新的例子能夠存在。他們未能獲得成功，但是大家卻有一種共同的感覺，認為他們未能成功不是因為他們在無效地試圖證明實際上是錯誤的東西，而是由於他們沒有足夠先進的數學工具。」
1983年11月，霍夫曼獲悉，一位名叫塞爾索·科斯塔的巴西研究生，在其博士論文中討論了提及的曲面的疑難方程問題。科斯塔已能證明無限的、極小的曲面在拓撲學上可與帶一把手的3孔空心球形相同。
但是，科斯塔和其他任何人都不知道提及的曲面看起來像是什麼，因為定義曲面的方程似乎都是相當複雜。況且，也沒有人知道曲面是否本身相交。如果該曲面要加入平面、無界懸索曲面和無界螺旋面的極小曲面的神聖行列，那麼它是不容許本身相交的。
自身相交的問題不是一個簡單的問題。霍夫曼解釋說：「當你有一組曲面方程時，你不能計算出某些量，說『是，它自身相交』或『不，它自身不相交』。而從本質上說，你只能證明曲